[CSP-S 2021] 括号序列

题目描述

给定长度为 $n$ 的字符串，其中一些位置已经确定为 (、) 或 *，另一些位置为 ?。你需要将每个 ? 替换成 (、) 或 *，使最终字符串成为符合规范的“超级括号序列”。

给定常数 $k$。符合规范的超级括号序列由字符 (、)、* 组成，定义如下：

1. () 与 (S) 是符合规范的，其中 S 表示由不超过 $k$ 个字符 * 组成的非空字符串。
2. 若 A 和 B 均符合规范，则 AB 与 ASB 均符合规范。
3. 若 A 符合规范，则 (A)、(SA)、(AS) 均符合规范。
4. 所有符合规范的序列均可由以上规则得到。

例如当 $k=3$ 时，((**()*(*))*)(***) 符合规范，而 *()、(*()*)、((**))*)、(****(*)) 均不符合规范。空字符串也不符合规范。

请计算有多少种替换方法，使得到的字符串符合规范。答案对 $10^9+7$ 取模。

输入格式

第一行两个正整数 $n,k$。

第二行一个长度为 $n$ 且仅由 (、)、*、? 构成的字符串 $S$。

输出格式

输出一个非负整数，表示答案对 $10^9+7$ 取模后的结果。

样例 #1

输入 #1

7 3
(*??*??

输出 #1

5

样例 #2

输入 #2

10 2
???(*??(?)

输出 #2

19

数据范围与提示

样例 #1 中，以下几种方案是符合规范的：

(**)*()
(**(*))
(*(**))
(*)**()
(*)(**)

数据范围与提示

测试点编号	$n\le$	特殊性质
$1\sim3$	$15$	无
$4\sim8$	$40$
$9\sim13$	$100$
$14\sim15$	$500$	$S$ 中仅含字符 ?
$16\sim20$		无

对于 $100\%$ 的数据，$1\le k\le n\le 500$。

附件下载

bracket.zip